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把这100个元素分成如下几组：
第1组：1、2、4、8、16、32、64
第2组：3、6、12、24、48、96
第3组：5、10、20、40、80
第4组：7、14、28、56
第5组：9、18、36、72
第6组：11、22、44、88
第7组：13、26、52
第8组：15、30、60
第9组：17、34、68
第10组：19、38、76
第11组：21、42、84
第12组：23、46、92
第13组：25、50、100
第14组：27、54
第15组：29、58
第16组：31、62
第17组：33、66
第18组：35、70
第19组：37、74
第20组：39、78
第21组：41、82
第22组：43、86
第23组：45、90
第24组：47、94
第25组：49、98
第26组：51、53、…、97、99
前25组中，相邻两个数的后一个数恰好是前一个数的两倍，第26组是从51至99这25个奇数
要使子集中不存在某两个数之间存在两倍关系，第1组中最多可取四个数，如：1、4、16、64；
第2、3组中最多可取3个数，如第2组中可取：3、12、48；
第4——13组中最多都可取2个数，如第7组中可取：13、52；
第14——25组中最多都可取1个数，如第14组中可取：27；
第26组中所有的数都可以取。
因此，要使子集中每个数都不是另一个数的2倍，子集中的元素最多可以有：
4＋3×2＋2×10＋1×12＋25＝67个
怎么用数学归纳法证明由n个元素组成的集合有2的n次方个子集
1)
元素个数，子集个数
1,2
2,4
3,8
4,16
5,32
n,2^n
2)对,B={x│x=n/4+1/2,n∈Z}
中的n取2n-1（即n取奇数）
则x=n/2+1/4
与A的表达式相同了
所以B包含A
有一个元素的子集个数为2（空集和全集），为2^1
假设有n个元素的子集为2^n
则对于n+1个元素的子集数量为2^n*2，即为2^(n+1)
当n=m+1时，也就是多了一个元素，然后把这个元素添加到之前的2的m次方个子集中，就会重新得到新的2的m次方个子集，因此n=m+1时，集合有2的m次方+2的m次方 个子集，也就是2倍的2的m次方，即2的m+1次方个子集，因此，当n=m+1，集合有2的m+1次方个子集。
性质
一、根据子集的定义，我们知道A?A。也就是说，任何一个集合是它本身的子集。
二、对于空集?，我们规定?A，即空集是任何集合的子集。
说明：若A=?，则?A仍成立。
证明：给定任意集合A，要证明?是A的子集。这要求给出所有?的元素是A的元素；但是，?没有元素。对有经验的数学家们来说，推论“?没有元素，所以?的所有元素是A 的元素"是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。
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